Reflexive Transitive Closure
Definition 定义
reflexive transitive closure（自反传递闭包）：在关系 (R)（或有向图的边关系）基础上，加入必要的边使其同时满足：
- 自反（reflexive）：对任意元素 (a)，都有 (aRa)（允许“原地可达”）。
- 传递（transitive）：若 (aRb) 且 (bRc)，则 (aRc)。
直观理解：表示“从 (a) 出发经过零步或多步沿关系 (R) 能到达 (b)”的可达关系，常记作 (R^*)（而仅传递闭包常记作 (R^+)，对应“至少一步”）。
Pronunciation 发音
/riˈflɛksɪv ˈtrænzɪtɪv ˈkloʊʒər/
Examples 例句
The reflexive transitive closure of the “follows” relation tells us who can be reached by following zero or more steps.
“关注/跟随”关系的自反传递闭包告诉我们：通过零步或多步跟随，哪些人是可达的。
In graph theory and databases, we often compute the reflexive transitive closure to answer reachability queries efficiently, even when the original relation is not transitive.
在图论和数据库中，我们常计算自反传递闭包来高效回答“可达性”查询，即使原始关系本身并不具备传递性。
Etymology 词源
这是由三个英语词组成的技术短语：
- reflexive 源自拉丁语 reflectere（“折回、反向”），在数学里引申为“指向自身”，即 (aRa)。
- transitive 来自拉丁语 transire（“穿过、越过”），对应“可通过中间步骤传递”。
- closure 源自拉丁语 claudere（“关闭、封闭”），在数学中表示“补齐到某种性质为止”的最小扩充（最小闭包）。
Related Words 相关词
Literary Works 文学作品
- Aho & Ullman 等《Compilers: Principles, Techniques, and Tools》（编译原理“龙书”）——在形式语言/自动机与可达性相关讨论中常涉及闭包概念与 (R^*) 记号。
- Cormen, Leiserson, Rivest, Stein《Introduction to Algorithms》——在图算法与可达性、传递闭包（如 Warshall/Floyd-Warshall 思想相关）中出现。
- Hopcroft, Motwani, Ullman《Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation》——在正则表达式的 Kleene 星（对应“零次或多次”）与关系 (R^*) 的语义联系中常被提及。
- Ebbinghaus & Flum《Finite Model Theory》——在一阶逻辑扩展（如可达性/传递闭包逻辑）相关章节中使用“(reflexive) transitive closure”术语。
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